Tích chập của hàm số ƒ và g được viết là ƒ∗g, là 1 phép biến đổi tích phân đặc biệt:

( f ∗ g ) ( t )     {\displaystyle (f*g)(t)\ \ \,}	= d e f   ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau }
	= ∫ − ∞ ∞ f ( t − τ ) g ( τ ) d τ . {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )\,g(\tau )\,d\tau .}       (giao hoán)

Một cách tổng quát, nếu f và g là hàm số phức trong không gian Rd, thì tích chập của chúng được định nghĩa như sau:

( f ∗ g ) ( x ) = ∫ R d f ( y ) g ( x − y ) d y = ∫ R d f ( x − y ) g ( y ) d y . {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy.}

Hình ảnh minh họa tích chập.
Thể hiện mỗi hàm bằng một biến giả τ . {\displaystyle \tau .} Lấy đối xứng hàm qua trục tung: g ( τ ) {\displaystyle g(\tau )} → g ( − τ ) . {\displaystyle g(-\tau ).} Thêm biến thời gian, t, cho phép g ( t − τ ) {\displaystyle g(t-\tau )} trượt dọc theo trục τ {\displaystyle \tau } . Bắt đầu t từ -∞ và trượt đến +∞.

Tích chập tuần hoàn

Nếu hàm số gT tuần hoàn với chu kỳ T > 0 {\displaystyle T>0} , và hàm f sao cho ƒ∗gT tồn tại, thì tích chập của chúng cũng tuần hoàn với chu kỳ T và được định nghĩa như sau:

( f ∗ g T ) ( t ) ≡ ∫ t 0 t 0 + T [ ∑ k = − ∞ ∞ f ( τ + k T ) ] g T ( t − τ ) d τ , {\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}

Với to là giá trị tùy ý.